Книга: Магия математики: Как найти x и зачем это нужно
Назад: Правила дифференцирования
Дальше: Глава номер двенадцать Магия бесконечности

Фокус-покус: ряд Тейлора

Доказывая в конце прошлой главы уравнение Эйлера, мы воспользовались тремя загадочными формулами:

 

 

Перед тем как разбираться, как мы пришли к этому, давайте немного поиграем. Интересно, что получится, если взять отдельно каждый член ряда ex и продифференцировать? Правило дифференцирования степенной функции говорит нам, что производной функции x4/4! будет (4x3)/4! = x3/3! то есть предшествующий член ряда! Другими словами, продифференцировав ряд ex, мы вновь получим ряд ex, что полностью соответствует тому, что мы знаем о показательной функции ex!
Последовательно дифференцируя x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…, получаем 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…, что соотносится с тем, что производная синуса – это косинус. Справедливо и обратное: производная косинуса – это синус со знаком минус. А еще этот ряд лишний раз доказывает, что cos 0 = 1, и поскольку каждая степень в нем выражена четным числом, значение cos (–x) будет равно cos x. Впрочем, нам это уже известно (например, (–x)4/4! = x4/4!). Следуя той же логике, мы можем прийти к sin 0 = 0, а поскольку каждая степень выражена нечетным числом, sin (–x) = –sin x, как мы и предполагали.
Теперь давайте попытаемся понять, откуда, собственно говоря, берутся эти формулы. Мы знаем, как найти производные наиболее популярных функций. Но бывают такие ситуации, когда одну и ту же функцию нужно продифференцировать несколько раз, разыскав ее вторую (f''(x)), третью (f'''(x)) и т. д. производную. f''(x) выражает крутизну наклона функции (то есть ее вогнутость) в точке (x, f(x)), f'''(x) делает то же для второй производной и т. д.
Для этого имеются специальные формулы. Они называются рядами Тейлора, потому что первым, кто ввел их в оборот, был английский математик Брук Тейлор (1685–1731). Для функции f(x) с производными f'(x), f''(x), f'''(x) и т. д. мы имеем

 

 

при любом значении x, «достаточно близком» к 0. Что значит «достаточно близком»? В некоторых функциях – например, ex, sin x или cos x – x может быть практически любой величиной. Но есть и такие функции (мы встретимся с ними чуть позже), которые имеют смысл только при очень маленьких значениях x.
Проследим, как меняется формула для f(x) = ex. Так как ex равна своей собственной первой (равно как и второй, и третьей и т. д.) производной, следовательно
f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) =… = e0 = 1
то есть ряд Тейлора для ex превращается в 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +…, как и предполагалось. При небольшом значении x нам достаточно посчитать лишь несколько членов ряда, чтобы получить точную аппроксимацию верного ответа.
Посчитаем с его помощью проценты. Как мы выяснили в прошлой главе, если положить на счет $1000 под 5 %, то, при условии непрерывных начислений, к концу года мы будем иметь $1000 e0,05 = $1051,27. И мы знаем, как это подсчитать. Но к тому же ответу можно прийти и с помощью формул сначала второго –
$1000(1 + 0,05 + (0,05)²/2!) = $1051,25
а потом и третьего порядка аппроксимации: $1051,27.
Аппроксимации Тейлора могут быть представлены в виде графика, на котором вместе с первыми тремя многочленами Тейлора изображена показательная (экспоненциальная) функция y = ex.
Постепенно увеличивая степень многочлена, мы достигаем все большей точности аппроксимации, особенно если x близок к 0. Но что же такого особенного в многочленах Тейлора, что делает их настолько эффективными? Аппроксимация первого порядка (называемая линейной) утверждает, что при x, близком к 0,
f(x) ≈ f(0) + f'(0)x
На графике получается прямая линия, проходящая через точку (0, f(0)) с наклоном f'(0). Значит, многочлен Тейлора степени n будет проходить через ту же точку (0, f(0)) и иметь такие же первую, вторую, третью и т. д., вплоть до n-ной, производные, что и начальная функция f(x).

 

Отступление
Кстати, многочлены и ряды Тейлора отлично показывают себя при работе и с другими величинами (не только 0), к которым стремится х. Так, ряд Тейлора для f(x) с начальной точкой a равен
При a = 0 он будет равен f(x) для всех действительных или комплексных значений x, близких к a.
Возьмем ряд Тейлора для f(x) = sin x. Посмотрите: f'(x) = cos x, f''(x) = –sin x, f'''(x) = –cos x, а f''''(x) = sin x = f(x). При сопоставлении с 0, начав с f(0), мы придем к циклу 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1…., в котором каждое четное значение x попросту исчезает из ряда. Следовательно, получается, что при любом x, выраженном в радианах,

 

 

Аналогично, для f(x) = cos x имеем

 

 

Ну и напоследок давайте возьмем пример, в котором ряд Тейлора равен функции при некоторых – но не всех – значениях x. Пусть это будет Здесь f(0) = 1, и, согласно цепному правилу, первые несколько производных выглядят как

 

 

Следуя и дальше этой закономерности (или воспользовавшись методом индукции), мы неизбежно придем к заключению, что n-ная производная (1 – x)–1 будет равна n!(1 – x)−(n + 1) (а при x = 0 – просто n!). Следовательно, ряд Тейлора трансформируется в

 

 

что будет верно только при таком значении x, которое находится в диапазоне от –1 до 1. Если же x, например, будет больше 1, то складываемые величины будут становиться все больше и больше, пока сумму станет вовсе невозможно определить.
Странно, правда? Возможно, вам интересно узнать, каково это – складывать бесконечное количество чисел. А как будет выглядеть их сумма? Ответы на эти вопросы – в следующей главе, посвященной бесконечности, главе, в которой мы встретимся со многими странными, удивительными, непредсказуемыми и прекрасными тайнами математики.
Назад: Правила дифференцирования
Дальше: Глава номер двенадцать Магия бесконечности

Сема
Ряды Тейлора не правильно записаны
Ola
опечамка 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 , а не 52